آموزش تبدیلات هندسی (هندسه هفتم)

۱. تعریف تبدیلات هندسی

تبدیل هندسی یعنی جابه‌جا کردن یا چرخاندن شکل‌ها در صفحه مختصات. نکته بسیار مهم در تبدیلات هندسی این است که جنس و اندازه شکل تغییر نمی‌کند.

یعنی وقتی یک شکل را انتقال می‌دهیم یا دوران می‌دهیم:

به زبان ساده: شکل را برمی‌داریم و در جای دیگری می‌گذاریم، بدون اینکه آن را بکشیم یا کوچک و بزرگ کنیم.

در انتقال، شکل را روی صفحه می‌لغزانیم. برای پیدا کردن مختصات جدید، کافیست مختصات بردار انتقال را با مختصات نقطه جمع کنیم.

$$ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+a \\ y+b \end{bmatrix} $$

در مثال روبرو، بردار انتقال $\vec{v} = \begin{bmatrix} 5 \\ -2 \end{bmatrix}$ است:

در تقارن محوری، شکل نسبت به یک خط (مانند آینه) قرینه می‌شود.

اگر محور تقارن، محور عرض‌ها (y) باشد، علامت طول نقطه‌ها قرینه می‌شود ولی عرض تغییر نمی‌کند:

$$ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \xrightarrow{y} \begin{bmatrix} -x \\ y \end{bmatrix} $$

با زدن دکمه پخش، ببینید چگونه نقاط به سمت آینه (محور y) حرکت کرده و در سمت دیگر قرار می‌گیرند.

در تقارن مرکزی نسبت به مبدأ مختصات، شکل به اندازه ۱۸۰ درجه دور مبدأ می‌چرخد.

نکته کلیدی این است که در تقارن مرکزی نسبت به مبدأ، هم علامت طول و هم علامت عرض قرینه می‌شود:

$$ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \xrightarrow{O} \begin{bmatrix} -x \\ -y \end{bmatrix} $$

مثلاً نقطه $\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$ به $\begin{bmatrix} -3 \\ -4 \end{bmatrix}$ تبدیل می‌شود.

دوران یعنی چرخاندن شکل حول یک نقطه ثابت (مرکز دوران). در اینجا دوران ۹۰ درجه ساعت‌گرد را می‌بینیم.

در دوران ۹۰ درجه ساعت‌گرد، جای طول و عرض عوض می‌شود و علامت طول جدید قرینه می‌شود (یا به عبارتی عرض قدیم قرینه می‌شود و جایشان عوض می‌شود):

$$ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \xrightarrow{90^{\circ}} \begin{bmatrix} y \\ -x \end{bmatrix} $$

مثلاً نقطه $\begin{bmatrix} -4 \\ 3 \end{bmatrix}$ پس از دوران به $\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$ تبدیل می‌شود.

در دوران ۹۰ درجه پادساعت‌گرد (خلاف جهت عقربه‌های ساعت)، شکل به سمت چپ می‌چرخد.

در این حالت، جای طول و عرض عوض می‌شود و علامت عرض جدید قرینه می‌شود (یا به عبارتی طول قدیم قرینه می‌شود و جایشان عوض می‌شود):

$$ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \xrightarrow{-90^{\circ}} \begin{bmatrix} -y \\ x \end{bmatrix} $$

مثلاً نقطه $\begin{bmatrix} -2 \\ 5 \end{bmatrix}$ پس از دوران به $\begin{bmatrix} -5 \\ -2 \end{bmatrix}$ تبدیل می‌شود.

دوران ۱۸۰ درجه (چه ساعت‌گرد و چه پادساعت‌گرد) نتیجه‌ای کاملاً مشابه تقارن مرکزی دارد.

در این دوران، شکل کاملاً برعکس می‌شود. جای طول و عرض عوض نمی‌شود، اما علامت هر دو قرینه می‌شود:

$$ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \xrightarrow{180^{\circ}} \begin{bmatrix} -x \\ -y \end{bmatrix} $$

در اینجا شکل نصف یک دایره کامل را طی می‌کند تا به موقعیت جدید برسد.

دبیر ریاضی دبیرستان شهید باهنر ۳ کرج

پایان مبحث تبدیلات هندسی